Σφάλμα και αβεβαιότητα στις μετρήσεις

Το "σφάλμα" (error) και η "αβεβαιότητα" (uncertainty) είναι δύο συμπληρωματικές, αλλά διαφορετικές οπτικές που χαρακτηρίζουν τις μετρήσεις.

Το "σφάλμα" είναι η διαφορά μεταξύ του αποτελέσματος μιας μέτρησης $y_i$$y_i$ και της πραγματικής (η αποδέκτης) τιμής Y του μετρούμενου χαρακτηριστικού. Αξίζει να τονιστεί ότι η πραγματική τιμή δεν είναι ποτέ γνωστή κατά συνέπεια δεν είναι γνωστό και το πραγματικό σφάλμα της μέτρησης ${\epsilon }_i$$ε_i$. Ισχύει γενικά ότι:

${\epsilon }_i=Y_i–Y$$ε_i = Y_i – Y$

Η "αβεβαιότητα" από την άλλη, περιγράφει την αξιοπιστία του ισχυρισμού ότι το δηλωθέν αποτέλεσμα της μέτρησης αντιπροσωπεύει την τιμή του μετρούμενου χαρακτηριστικού. Η αξιοπιστία δίνεται με ένα διάστημα εμπιστοσύνης, μέσα στο οποίο βρίσκεται η πραγματική τιμή. Αυτό βεβαία για την περίπτωση που δεν υπάρχουν συστηματικά σφάλματα κατά την διεξαγωγή της μέτρησης.

Βεβαία ψηφία

Τα βεβαία ψηφία σε μια μέτρηση είναι αυτά που είμαστε απολυτά σίγουροι για την τιμή τους, αφού διαβάσουμε την ένδειξη του οργάνου.

Αβέβαιο ψηφίο

Το τελευταίο ψηφίο σε κάθε μέτρηση είναι το αβέβαιο ψηφίο το όποιο είναι κατ’ εκτίμηση, διότι αυτό βρίσκεται μέσα στο εύρος της ελαχίστης υποδιαίρεσης του οργάνου.

Αν η τιμή που μετράμε έχει ελάχιστη υποδιαίρεση α σε ένα αναλογικό όργανο, τότε η εκτιμώμενη πραγματική τιμή $\hat{Y}̂$$\hat{Y} ̂$θα δίνεται με αβεβαιότητα $a$$a$ , δηλαδή θα βρίσκεται κάπου στο διάστημα εμπιστοσύνης

$y_i-a\le \hat{Y}̂\le y_i+a$$y_i-a ≤\hat{Y} ̂≤y_i+a$

Στην περίπτωση ενός ψηφιακού οργάνου η αβεβαιότητα $\alpha$$α$ είναι τελευταίο σημαντικό ψηφίο του οργάνου.

Σημαντικά ψηφία

Σημαντικά ψηφία μιας μέτρησης ονομάζονται τα βέβαια ψηφία και το ένα αβέβαιο ψηφίο.

Τα μηδενικά στο τέλος μίας μέτρησης

Τα μηδενικά στο τέλος είναι σημαντικά και διατηρούνται διότι έχουν σχέση με την ακρίβεια της μέτρησης.

Τα μηδενικά στην αρχή ενός πειραματικού αποτελέσματος

Τα μηδενικά στη αρχή δεν είναι σημαντικά διότι δεν σχετίζονται με την ακρίβεια της μέτρησης. Π.χ. έστω ότι μετράμε το μήκος ενός αντικειμένου και το βρίσκουμε 66mm. Μετατρέποντας το αποτέλεσμα σε μέτρα, το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι 0,066m. Δεν άλλαξε η ακρίβεια της μέτρησης.

Διάδοση αβεβαιότητας

Όταν έχουμε πράξεις μεταξύ μετρούμενων μεγεθών τότε η αβεβαιότητα μεταβάλλεται με κάποιους κανόνες, επίσης είναι προτιμότερο να μη στρογγυλοποιούνται οι αβεβαιότητες μέχρι το τελικό αποτέλεσμα για την αποφυγή της συσσώρευση σφαλμάτων στρογγυλοποίησης.

Έστω x και y μετρήσεις με αβεβαιότητα δx και δy και c ένας αριθμός με αμελητέα αβεβαιότητα. Υποθέτουμε επίσης ότι τα σφάλματα των x και y είναι ασυσχέτιστα, δηλαδή όταν μια τιμή έχει σφάλμα, το σφάλμα της άλλης τιμής δεν έχει κάποια συγκεκριμένη τιμή ή τάση. Παρακάτω περιγράφεται πως να υπολογίσουμε τη διαδιδόμενη αβεβαιότητα (δz) ενός σύνθετου μεγέθους z

• Πολλαπλασιασμός με έναν συγκεκριμένο αριθμό:

  Εάν$z=cx$$z = c x$, τότε $\delta z=c\delta x$$δz = c δx$

  Πρόσθεση ή αφαίρεση με έναν ακριβή αριθμό:

  Εάν $𝑧=𝑐+𝑥$$𝑧 = 𝑐 + 𝑥$, τότε $𝛿𝑧=𝛿𝑥$$𝛿𝑧 = 𝛿𝑥$

• Πρόσθεση ή αφαίρεση:

  Εάν $𝑧=𝑥\pm 𝑦$$𝑧 = 𝑥 ± 𝑦$, τότε $𝛿𝑧=\sqrt{𝛿{𝑥}^2+𝛿{𝑦}^2}$$𝛿𝑧=\sqrt{𝛿𝑥^2+𝛿𝑦^2}$

• Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση:

  Εάν $z=xy$$z = xy$ or $z=\frac{x}{y}$$z =\cfrac{x}{y}$ , τότε $\frac{\delta z}{z}=\sqrt{(\frac{\delta x}{x}{)}^2+(\frac{\delta y}{y}{)}^2}$$\cfrac{δz}{z}=\sqrt{(\cfrac{δx}{x})^2+(\cfrac{δy}{y})^2 }$

• Δύναμη:

  Εάν $z=x^c$$z = x^c$ τότε $\frac{\delta z}{z}=c\frac{\delta x}{x}$$\cfrac{δz}{z}=c \cfrac{δx}{x}$